簡述有限元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點(有限元單元剛度方程)

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今天給各位分享簡述有限元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點的知識，其中也會對有限元單元剛度方程進行解釋，如果能碰巧解決你現(xiàn)在面臨的問題，別忘了關(guān)注本站，現(xiàn)在開始吧！結(jié)構(gòu)被選擇性地離散，和高級理論構(gòu)成了有限元發(fā)展的主要研究方向。

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本文目錄一覽：

1、有限元法有什么特點和優(yōu)勢
2、有限元中總體剛度矩陣有哪些特點
3、關(guān)于有限元剛度矩陣的特性問題

有限元法有什么特點和優(yōu)勢

一、有限元法簡述有限元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點的特點：

1、把連續(xù)體劃分成有限個單元簡述有限元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點，把單元簡述有限元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點的交界結(jié)點(節(jié)點)作為離散點;

2、不考慮微分方程，而從單元本身特點進行研究。

3、理論基礎(chǔ)簡明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對該法的理解。

4、具有靈活性和適用性，適應(yīng)性強。它可以把形狀不同、性質(zhì)不同的單元組集起來求解，故特別適用于求解由不同構(gòu)件組合的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用范圍極為廣泛。

它不僅能成功地處理如應(yīng)力分析中的非均勻材料、各向異性材料、非線性應(yīng)力、應(yīng)變以及復(fù)雜的邊界條件等問題，且隨著其理論基礎(chǔ)和方法的逐步完善，還能成功地用來求解如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)及電磁場領(lǐng)域的許多問題。

5、在具體推導(dǎo)運算過程中，廣泛采用了矩陣方法。

二、有限元法的優(yōu)點

1、物理概念淺顯清晰，易于掌握。有限元法不僅可以通過非常直觀的物理解釋來被掌握，而且可以通過數(shù)學(xué)理論嚴謹?shù)姆治稣莆辗椒ǖ谋举|(zhì)。

2、描述簡單，利于推廣。有限元法由于采用了矩陣的表達形式，從而可以非常簡單的描述問題，使求解問題的方法規(guī)范化，便于編制計算機程序，并且充分利用了計算機的高速運算和大量存儲功能。

3、方法優(yōu)越。對于存在非常復(fù)雜的因素組合時候，比如不均勻的材料特性、任意的邊界條件、復(fù)雜的幾何形狀等混雜在一起的時候，有限元法都能靈活的處理和求解。

4、應(yīng)用范圍廣。有限元法不僅能解決結(jié)構(gòu)力學(xué),彈性力學(xué)中的各種問題,而且隨著其理論基礎(chǔ)與方法的逐步改進與成熟,還可以廣泛地用來求解熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)及電磁場等其他領(lǐng)域的諸多問題。不僅如此,在所有連續(xù)介質(zhì)問題和場問題中,有限元法都得到了很好的應(yīng)用。

擴展資料：

有限元方法的核心思想

有限元法（Finite Element Method）是基于近代計算機的快速發(fā)展而發(fā)展起來的一種近似數(shù)值方法，用來解決力學(xué)，數(shù)學(xué)中的帶有特定邊界條件的偏微分方程問題（PDE）。而這些偏微分方程是工程實踐中常見的固體力學(xué)和流體力學(xué)問題的基礎(chǔ)。

有限元和計算機發(fā)展共同構(gòu)成了現(xiàn)代計算力學(xué) （Computational Mechanics）的基礎(chǔ)。有限元法的核心思想是“數(shù)值近似”和“離散化”，所以它在歷史上的發(fā)展也是圍繞著這兩個點進行的。

1、“數(shù)值近似”

由于在有限元法被發(fā)明之前，所有的力學(xué)問題和工程問題中出現(xiàn)的偏微分方程只能依靠單純的解析解（Analytical Solution）得到解答。這種方法對數(shù)學(xué)要求很高，而且非常依賴于一些理想化的假定（Assumption）。

比如在土木工程中梁柱計算中出現(xiàn)的平截面假定，小應(yīng)變假定，理想塑性假定。這些假定其實是和實際工程問題有很大偏差的，而且一旦工程問題稍微復(fù)雜一些我們就不能直接得到解析解，或者解析解的答案誤差過大。

而有限元法把復(fù)雜的整體結(jié)構(gòu)離散到有限個單元（Finite Element），再把這種理想化的假定和力學(xué)控制方程施加于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的每一個單元，然后通過單元分析組裝得到結(jié)構(gòu)總剛度方程，再通過邊界條件和其他約束解得結(jié)構(gòu)總反應(yīng)。

總結(jié)構(gòu)內(nèi)部每個單元的反應(yīng)可以隨后通過總反應(yīng)的一一映射得到，這樣就可以避免直接建立復(fù)雜結(jié)構(gòu)的力學(xué)和數(shù)學(xué)模型了。其總過程可以描述為：

總結(jié)構(gòu)離散化 — 單元力學(xué)分析 — 單元組裝 — 總結(jié)構(gòu)分析 — 施加邊界條件 — 得到結(jié)構(gòu)總反應(yīng) — 結(jié)構(gòu)內(nèi)部某單元的反應(yīng)分析

在進行單元分析和單元內(nèi)部反應(yīng)分析的時候，形函數(shù)插值（shape function interpolation）和高斯數(shù)值積分（Gaussian Quadrature）被用來近似表達單元內(nèi)部任意一點的反應(yīng)，這就是有限元數(shù)值近似的重要體現(xiàn)。

一般來說，形函數(shù)階數(shù)越高，近似精度也就越高，但其要求的單元控制點數(shù)量和高斯積分點數(shù)量也更多。另外單元劃分的越精細，其近似結(jié)果也更加精確。但是以上兩種提高有限元精度的代價就是計算量幾何倍數(shù)增加。

為了提高數(shù)值近似精度同時盡量較少地提高計算量，有限元法經(jīng)歷了很多發(fā)展和改良。下圖就是一典型的有限元問題，因為模型中間空洞部分幾何不規(guī)則性，結(jié)構(gòu)用有限三角單元劃分。

由于在靠外區(qū)域，結(jié)構(gòu)反應(yīng)變化程度不是很大，因此劃分的單元比較大和粗糙，而在內(nèi)部，應(yīng)力變化比較大，劃分也比較精細。而在左邊單元劃分最密區(qū)域，有應(yīng)力集中現(xiàn)象（如裂紋問題的奇異解現(xiàn)象），所以又有相應(yīng)的高級理論（比如non-local theory）來指導(dǎo)這部分的單元應(yīng)力應(yīng)變計算。

結(jié)構(gòu)被選擇性地離散，和高級理論構(gòu)成了有限元發(fā)展的主要研究方向。

2.、“離散化”

離散化和相應(yīng)單元特性和收斂研究也是有限元中一個重要研究領(lǐng)域，總的來說，有限單元和他們組裝成的總體結(jié)構(gòu)主要分為：

1-D 單元 (1-D element) 桿單元 (bar element) ------ 桁架 (truss) 梁單元 (beam element) ------ 框架 (frame) 板單元 (plate element) ------ 殼體 (shell)

2-D單元 (2-D element) ------ 平面應(yīng)力體 (plain stress) 和平面應(yīng)變體 (plain strain) 三角單元 (triangle element) 四邊形單元 (quadrilateral element) 多邊形單元 (polygonal element)

3-D 單元 (3-D element) ----- 立體結(jié)構(gòu) (3-D problem) 三角體 (tetrahedrons element) 立方體單元 (hexahedrons element) 多邊體單元 (polyhedrons element)

具體的分類和單元形狀見下圖

可以看到每種單元又可以提高形函數(shù)的階數(shù)（控制點 node 數(shù)量）來提高精度。很多有限元研究也集中在這個領(lǐng)域。

比如研究新的單元引用于結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)以減小數(shù)值震蕩，比如用3-D單元去模擬梁單元等等。其實理論上來說這個領(lǐng)域可以有無限可能，因為對精度和數(shù)值穩(wěn)定的追求可以是無限的。

3、 “光滑邊界” 和與CAD的交互問題

其實這個算不上有限元的核心思想，不過是現(xiàn)在有限元研究熱的不能再熱的領(lǐng)域了，就是Hughes提出的“NURBS”有限元法，它的原理是用空間樣條曲線來劃分單元。

如第一幅圖所示，傳統(tǒng)的有限元在處理不規(guī)則邊界的時候一般都是較多的單元和用三角單元，多邊形單元來解決，而且單元控制點都是和單元在一個平面上。

而NURBS 單元的控制點脫離了單元本身，并且利用B-spline理論上可以把單元的光滑程度（continuity）提高到無限，而且不會顯著提高計算量。

發(fā)展NURBS的另外一個好處是，在建模中常用的CAD軟件是用B-spline來進行模型建立基礎(chǔ)的，而NURBS 正好也是用用B-spline作為basis。

所以CAD和NURBS的交互可以非常簡單和高效的，甚至可以說是無縫連接。因此在工業(yè)界中十分復(fù)雜的模型都可以用CAD進行建模，再用NURBS進行有限元計算，如下圖。

現(xiàn)在成噸的有限元paper都來自這個領(lǐng)域，因為有限元的基本理論基本已經(jīng)成熟和robust，利用高性能計算機進行大尺度（large-scale）和高復(fù)雜結(jié)構(gòu)模擬也是有限元發(fā)展的一個主要方向。

參考資料：百度百科“有限元法”

有限元中總體剛度矩陣有哪些特點

在有限元法中簡述有限元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點，求總體剛度矩陣簡述有限元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點的方法有兩種。一種是直接利用剛度系數(shù)集成的方法獲得總體剛度矩陣；第二種是由單元剛度矩陣按節(jié)點的順序編號疊加而成簡述有限元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點，而建立單元剛度矩陣的方法有直接剛度法、虛功原理法、能量變分法等等。以上兩種方法都應(yīng)用到疊加原理。